
حاد ، چاق ، ایزوسکولها ، برابر ... وقتی مثلث می آید ، انواع مختلفی وجود دارد ، اما فقط یک انتخاب چند موردی که "خاص" هستند. این مثلث های خاص دارای طرفین و زاویه هایی هستند که سازگار و قابل پیش بینی هستند و می توانند برای میانبر کردن راه خود از طریق هندسه یا مشکلات مثلثاتی خود مورد استفاده قرار گیرند. و یک مثلث 30-60-90-که "سی و شصت و نود" به تصویب رسید ، در واقع یک نوع بسیار خاص از مثلث است.
در این راهنما ، ما شما را طی خواهیم کرد که مثلث 30-60-90 ، چرا کار می کند ، و چه زمانی (و چگونه) از دانش خود در مورد آن استفاده می کنیم. پس اجازه بدهید به این کار برسیم!
مثلث 30-60-90 چیست؟
مثلث 30-60-90 یک مثلث مخصوص راست است (مثلث راست هر مثلثی که حاوی زاویه 90 درجه باشد) که همیشه دارای زاویه درجه 30 درجه ، 60 درجه و 90 درجه است. از آنجا که این یک مثلث خاص است ، همچنین دارای مقادیر طول جانبی است که همیشه در یک رابطه سازگار با یکدیگر قرار دارند.
نسبت اصلی مثلث 30-60-90:
طرف مقابل زاویه 30 درجه: $ x $
طرف مقابل زاویه 60 درجه: $ x * √3 $
طرف مقابل زاویه 90 درجه: 2x $ $

به عنوان مثال ، یک مثلث 30-60-90 درجه می تواند طول جانبی داشته باشد:



(چرا پا طولانی تر 3 است؟ در این مثلث ، کوتاهترین پا ($ x $) $ 3 $ $ است ، بنابراین برای پا طولانی تر ، $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $. وHypotenuse 2 برابر کوتاهترین پا یا 2 $ 3 $ است)
طرف مقابل زاویه 30 درجه همیشه کوچکترین است ، زیرا 30 درجه کوچکترین زاویه است. طرف مقابل زاویه 60 درجه طول میانی خواهد بود ، زیرا 60 درجه زاویه درجه متوسط در این مثلث است. و سرانجام ، طرف مقابل زاویه 90 درجه همیشه بزرگترین طرف (هیپوتنوز) خواهد بود زیرا 90 درجه بزرگترین زاویه است.
اگرچه ممکن است شبیه به انواع دیگر مثلث های راست باشد ، دلیل این که یک مثلث 30-60-90 بسیار خاص است این است که شما فقط به سه قطعه اطلاعات نیاز دارید تا بتوانید هر اندازه گیری دیگری را پیدا کنید. تا زمانی که ارزش دو اندازه گیری دو زاویه و یک طرف را بدانید (مهم نیست که کدام طرف باشد) ، شما می دانید همه چیز را که باید در مورد مثلث خود بدانید.
به عنوان مثال ، می توانیم از فرمول مثلث 30-60-90 برای پر کردن کلیه اطلاعات باقی مانده از مثلث های زیر استفاده کنیم.
مثال 1

می توانیم ببینیم که این یک مثلث مناسب است که در آن هیپوتنوز دو برابر طول یکی از پاها است. این بدان معنی است که این باید یک مثلث 30-60-90 باشد و طرف کوچکتر در مقابل 30 درجه قرار دارد.
بنابراین ، پای طولانی تر باید بر خلاف زاویه 60 درجه باشد و 6 * √3 $ یا 6 $ 3 $ را اندازه گیری کند.
مثال 2

ما می توانیم ببینیم که این باید یک مثلث 30-60-90 باشد زیرا می بینیم که این یک مثلث مناسب با یک اندازه گیری معین ، 30 درجه است. زاویه بدون علامت باید 60 درجه باشد.
از آنجا که 18 اندازه گیری روبروی زاویه 60 درجه است ، باید برابر با X x√3 $ باشد. سپس کوتاهترین پا باید 18 دلار/3 $ $ را اندازه گیری کند.
(توجه داشته باشید که طول پا در واقع 18 دلار خواهد بود.
و Hypotenuse 2 دلار (18/√3) $ خواهد بود
(Note that, again, you caot have a radical in the denominator, so the final answer will really be 2 times the leg length of $6√3$ =>$ 12√3 $).
مثال 3

باز هم ، به ما دو اندازه گیری زاویه (90 درجه و 60 درجه) داده می شود ، بنابراین اندازه سوم 30 درجه خواهد بود. از آنجا که این یک مثلث 30-60-90 است و هیپوتنوز 30 است ، کوتاهترین پا برابر با 15 خواهد بود و پا طولانی تر برابر با 15 است.

نیازی به مشورت با توپ جادویی هشت نیست - این قوانین همیشه کار می کنند.
چرا کار می کند: 30-60-90 اثبات قضیه مثلث
اما چرا این مثلث خاص به روشی که انجام می دهد کار می کند؟چگونه می دانیم این قوانین قانونی هستند؟بیایید دقیقاً چگونه قضیه مثلث 30-60-90 را طی می کند و ثابت می کند که چرا این طول جانبی همیشه سازگار خواهد بود.
اول ، بیایید مثلث های درست را برای یک ثانیه فراموش کنیم و به یک مثلث دو طرفه نگاه کنیم.

مثلث مساوی مثلث است که دارای همه طرف مساوی و همه زوایای مساوی است. از آنجا که زاویه های داخلی یک مثلث همیشه به 180 درجه و 180/3/30 $ اضافه می کند ، یک مثلث دو طرفه همیشه سه زاویه 60 درجه دارد.

حالا بیایید از بالاترین زاویه تا پایه مثلث ارتفاع را پایین بیاوریم.

اکنون ما دو زاویه راست و دو مثلث متناسب (برابر) ایجاد کرده ایم.
چگونه می دانیم مثلث برابر هستند؟از آنجا که ما از یک مثلث دو طرفه ارتفاع را رها کردیم ، پایه را دقیقاً به نصف تقسیم کرده ایم. مثلث های جدید همچنین دارای یک طرف یک طرف (ارتفاع) هستند و هر یک از آنها دارای طول هیپوتنوز یکسان هستند. از آنجا که آنها سه طول جانبی مشترک (SSS) دارند ، این بدان معنی است که مثلث ها متناسب هستند.

توجه: نه تنها دو مثلث متناسب بر اساس اصول طول سمت جانبی یا SSS ، بلکه بر اساس اقدامات جانبی زاویه جانبی (SAS) ، زاویه زاویه (AAS) و زاویهزاویه جانبی (ASA). اساسا؟آنها قطعاً متناسب هستند.
اکنون که ما هماهنگی های دو مثلث جدید را ثابت کرده ایم ، می توانیم ببینیم که زاویه های برتر باید برابر با 30 درجه باشند (زیرا هر مثلث از قبل دارای زوایای 90 درجه و 60 درجه است و باید تا 180 درجه اضافه شود). این بدان معنی است که ما دو مثلث 30-60-90 ساخته ایم.
و از آنجا که می دانیم که پایه مثلث دو طرفه را به نصف برش می دهیم ، می بینیم که طرف مقابل زاویه 30 درجه (کوتاهترین طرف) هر یک از مثلث های 30-60-90 ما دقیقاً نیمی از طول هیپوتنوش استبشر
بنابراین اجازه دهید با طول اصلی خود با طول $ x $ و طول بیس ما $ x/2 $ تماس بگیریم.
اکنون تنها کاری که ما را به انجام آن رها می کند این است که طول میانی خود را پیدا کنیم که این دو مثلث به اشتراک می گذارند. برای انجام این کار ، ما به سادگی می توانیم از قضیه فیثاغور استفاده کنیم.

بنابراین ما با: $ x /2 ، /2 ، x $ باقی مانده ایم
حال بیایید هر اندازه گیری را با 2 ضرب کنیم ، فقط برای آسانتر کردن زندگی و جلوگیری از همه کسری ها. به این ترتیب ، ما مانده ایم:
بنابراین می توانیم ببینیم که یک مثلث 30-60-90 همیشه دارای طول جانبی سازگار با x $ $ ، $ x√3 $ و 2x $ $ (یا x/2 $ ، $/2 $ و $ است. x $).

خوشبختانه برای ما ، ما می توانیم بدون همه از قوانین مثلث 30-60-90 درست اثبات کنیم. این.
چه موقع از قوانین مثلث 30-60-90 استفاده کنید
دانستن قوانین مثلث 30-60-90 می تواند در بسیاری از مشکلات ریاضی مختلف ، یعنی طیف گسترده ای از هندسه و مشکلات مثلثاتی ، باعث صرفه جویی در وقت و انرژی شما شود.
هندسه
درک صحیح از مثلث های 30-60-90 به شما امکان می دهد سؤالات هندسه را حل کنید که بدون دانستن این قوانین نسبت ، غیرممکن است یا حداقل ، زمان و تلاش قابل توجهی برای حل "راه طولانی" می گیرد.
با نسبت مثلث ویژه ، می توانید ارتفاعات مثلث یا طول پا را از دست ندهید (بدون استفاده از قضیه فیثاغوریایی) ، با استفاده از اطلاعات ارتفاع از دست رفته یا طول پایه ، مساحت مثلث را پیدا کنید و به سرعت محیط را محاسبه کنید.
هر زمان که برای پاسخ به یک سؤال به سرعت نیاز دارید ، به یاد آوردن میانبرهایی مانند قوانین 30-60-90 شما مفید خواهد بود.
مثلثات
حفظ و درک نسبت مثلث 30-60-90 همچنین به شما امکان می دهد بسیاری از مشکلات مثلثاتی را بدون نیاز به ماشین حساب یا نیاز به تقریب پاسخ های خود به شکل اعشاری حل کنید.
مثلث 30-60-90 برای هر زاویه نسبتاً ساده ، سین ها ، سسین ها و مماس ها دارد (و این اندازه گیری ها همیشه سازگار خواهند بود).

30 درجه همیشه 1/2 دلار خواهد بود.
Cosine 60 درجه همیشه 1/2 دلار خواهد بود.
گرچه سایر سینها ، کوشین ها و مماس ها نسبتاً ساده هستند ، اما این دو مورد ساده ترین برای به خاطر سپردن هستند و احتمالاً در آزمایشات ظاهر می شوند. بنابراین دانستن این قوانین به شما امکان می دهد این اندازه گیری های مثلثات را در اسرع وقت پیدا کنید.
نکاتی برای یادآوری قوانین 30-60-90
می دانید این قوانین نسبت 30-60-90 مفید هستند، اما چگونه اطلاعات را در ذهن خود نگه دارید؟به خاطر سپردن قوانین مثلث 30-60-90 باید نسبت 1: √3: 2 را به خاطر بسپارید و بدانید که کوتاه ترین طول ضلع همیشه در مقابل کوتاه ترین زاویه (30 درجه) و طولانی ترین طول ضلع همیشه در مقابل زاویه قرار دارد. بزرگترین زاویه (90 درجه).
برخی از مردم این نسبت را با فکر کردن، "$x08i x$, $x08o 2 x08i x$, $x08i x x08o √ x08o3$" به خاطر می سپارند، زیرا جانشینی "1، 2، 3" معمولاً آسان استیاد آوردن. یکی از اقدامات احتیاطی برای استفاده از این تکنیک این است که به یاد داشته باشید که طولانی ترین ضلع در واقع $2x$ است، نه $x$ برابر $√3$.
راه دیگر برای به خاطر سپردن نسبت های خود این است که از یک کلمه بازی خاطره انگیز در نسبت 1: ریشه 3: 2 به ترتیب مناسب خود استفاده کنید. برای مثال، «جکی میچل لو گریگ را شکست داد و روتی را هم برد»: یک، ریشه سه، دو.(و این یک واقعیت واقعی تاریخ بیسبال است که باید بوت شود!)
اگر این ابزارها برای شما جذابیتی ندارند، با دستگاه های یادگاری خود بازی کنید - نسبت به یک آهنگ را بخوانید، عبارات "یک، ریشه سه، دو" خود را پیدا کنید، یا یک شعر نسبت بیاورید. حتی می توانید فقط به یاد داشته باشید که یک مثلث 30-60-90 نصف متساوی الاضلاع است و اگر دوست ندارید آنها را حفظ کنید، اندازه ها را از آنجا بفهمید.
با این حال برای شما منطقی است که این قوانین 30-60-90 را به خاطر بسپارید، این نسبت ها را برای سؤالات هندسه و مثلثات آینده خود حفظ کنید.

حفظ کردن دوست شماست، هر چند می توانید آن را انجام دهید.
نمونه سوالات 30-60-90
اکنون که به چگونگی و چرایی مثلث های 30-60-90 نگاه کردیم، اجازه دهید برخی از مسائل تمرینی را بررسی کنیم.
هندسه
یک کارگر ساختمانی یک نردبان 40 فوتی را در کنار یک ساختمان با زاویه 30 درجه از زمین تکیه داده است. زمین همسطح و ضلع ساختمان عمود بر زمین است. نردبان تا چه اندازه از ساختمان به نزدیکترین پا می رسد؟

بدون دانستن قوانین خاص مثلث 30-60-90 ما باید از مثلثات و ماشین حساب برای یافتن راه حل این مشکل استفاده کنیم، زیرا ما فقط یک ضلع اندازه گیری مثلث را داریم. اما چون می دانیم که این یک مثلث خاص است، می توانیم پاسخ را در عرض چند ثانیه پیدا کنیم.
اگر ساختمان و زمین بر یکدیگر عمود باشند، این بدان معناست که ساختمان و زمین یک زاویه قائم (90 درجه) تشکیل می دهند. همچنین مشخص است که نردبان با زاویه 30 درجه با زمین برخورد می کند. بنابراین می بینیم که زاویه باقیمانده باید 60 درجه باشد که باعث می شود این یک مثلث 30-60-90 باشد.

اکنون می دانیم که hypotenuse (طولانی ترین طرف) این 30-60-90 40 فوت است ، به این معنی که کوتاهترین طرف نیمی از طول خواهد بود.(به یاد داشته باشید که طولانی ترین طرف همیشه دو برابر است - 2x $ $ - به اندازه کوتاهترین طرف.) زیرا کوتاهترین طرف مقابل زاویه 30 درجه است و آن زاویه اندازه گیری درجه نردبان از زمین است ، این بدان معنی استقسمت بالای نردبان به ساختمان 20 فوت از زمین برخورد می کند.

پاسخ نهایی ما 20 فوت است.
مثلثات
اگر در یک مثلث راست ، sin θ = 1/2 $ $ و کوتاهترین طول پا 8 باشد. طول طرف گمشده که هیپوتنوز نیست چیست؟

از آنجا که شما قوانین 30-60-90 خود را می دانید ، می توانید بدون نیاز به قضیه فیثاغور یا ماشین حساب ، این مشکل را حل کنید.
به ما گفته شد که این یک مثلث مناسب است ، و ما از قوانین ویژه مثلث راست خود می دانیم که 30 درجه = 1/2 دلار است. بنابراین زاویه گمشده باید 60 درجه باشد و این باعث می شود مثلث 30-60-90 باشد.
و از آنجا که این یک مثلث 30-60-90 است ، و به ما گفته شد که کوتاهترین طرف 8 است ، هیپوتنوز باید 16 باشد و طرف مفقود شده باید 8 دلار * 3 $ یا 8 دلار 3 دلار باشد.

پاسخ نهایی ما 8√3 است.
عرب
به یاد آوردن قوانین برای مثلث های 30-60-90 به شما کمک می کند تا از طریق انواع مشکلات ریاضی راه خود را میانبر کنید. اما به خاطر داشته باشید که ، در حالی که دانستن این قوانین ابزاری مفید برای نگه داشتن کمربند خود است ، هنوز هم می توانید بدون آنها بیشتر مشکلات را حل کنید.
قوانین $ x $ ، $ x√3 $ ، 2x $ $ و 30-60-90 را به هر روشی که برای شما معنی دارد پیگیری کنید و اگر می توانید سعی کنید آنها را مستقیم نگه دارید ، اما اگر ذهن خود را وحشت نکنیدوقتی زمان خرد است ، خالی می شود. در هر صورت ، شما این را دارید.
و اگر به تمرین بیشتری احتیاج دارید ، پیش بروید و این مسابقه مثلث 30-60-90 را بررسی کنید. آزمایش مبارک!
در این موضوع به کمک بیشتری نیاز دارید؟TutorBase را بررسی کنید!
بانک اطلاعاتی معلم ما شامل طیف وسیعی از مربیان با تجربه است که می توانند به شما در پرداخت مقاله برای انگلیسی کمک کنند یا توضیح دهند که چگونه مشتقات برای حساب کار می کنند. برای یافتن فرد مناسب برای نیازهای خود می توانید از ده ها فیلتر و معیارهای جستجو استفاده کنید.

دوستانی دارید که در آمادگی آزمون نیز به کمک نیاز دارند؟این مقاله را به اشتراک بگذارید!

کورتنی مونتگومری درباره نویسنده
کورتنی در صدک 99 در SAT در دبیرستان به ثمر رساند و با مدرک انسان شناسی فرهنگی و اجتماعی از دانشگاه استنفورد فارغ التحصیل شد. او علاقه مند به آموزش آموزش و ابزاری برای موفقیت در دانش آموزان از همه پیشینه ها و جنبه های زندگی است ، زیرا معتقد است آموزش باز یکی از تساوی دهنده های بزرگ اجتماعی است. او سالها تجربه تدریس دارد و کارهای خلاقانه را در اوقات فراغت خود می نویسد.
برای تقویت SAT/ACT راهنماهای رایگان دریافت کنید
انجمن دانشجویی و والدین
انجمن جدید دانش آموز و والدین ما ، در ExperThub. prepscholar. com ، به شما امکان می دهد با همسالان و کارمندان مقدماتی خود در تعامل باشید. ببینید که دانش آموزان و والدین دیگر چگونه در حال حرکت به دبیرستان ، کالج و روند پذیرش کالج هستند. سوال بپرس؛پاسخ بگیرید

سوالی را در زیر بپرسید
در مورد این مقاله یا موضوعات دیگر سوالی دارید؟از زیر بپرسید و ما پاسخ خواهیم داد!< Pan> کورتنی در صدک 99 در SAT در دبیرستان به ثمر رساند و با داشتن مدرک انسان شناسی فرهنگی و اجتماعی از دانشگاه استنفورد فارغ التحصیل شد. او علاقه مند به آموزش آموزش و ابزاری برای موفقیت در دانش آموزان از همه پیشینه ها و جنبه های زندگی است ، زیرا معتقد است آموزش باز یکی از تساوی دهنده های بزرگ اجتماعی است. او سالها تجربه تدریس دارد و کارهای خلاقانه را در اوقات فراغت خود می نویسد.
دوره ی فارکس...
ما را در سایت دوره ی فارکس دنبال می کنید
برچسب :
نویسنده : پرویز حبّی
بازدید : <-PostHit->
تاريخ : پنجشنبه
19 مرداد
1402 ساعت: 1:34